Fondements 2 / Cours I et II / Espaces Vectoriels : coordonnées et changement de base

Espaces Vectoriels : Coordonnées et changement de bases

Soit E un K espace vectoriel.

Considérons B =(e_1,...,e_n) une première base de E et B'=(e'_1,...,e'_n) une deuxième base de E. Nous supposons connus les coordonnes des vecteurs e'_j de la base B' dans la base B : coord_B(e'_j)=(a_(1,j),...,a_(n,j)). la base B peut être dite l'ancienne basse et B' la nouvelle.

Nous appelons matrice de passage de B à B' la matrice P =  M_B( e'_1,...,e'_n) dont la j ème colonne est formée des corodonnées de e'_j danss la  base B. Nous avons vu que P est inversiblle. Notons P^(-1) la matrice inverse de P.

Soit u un élément de E. Notons (x_1,...,x_n)  les coordonnées de u dans la basse B et (X_1,...,X_n) les coordonnées de u dans la base B'. Si x désigne la matrice colonne de coefficients (x_1,...,x_n)  et X la matrice colonne de coefficients (X_1,...,X_n) , nous avons : x=PX et X=P^(-1)x. la première formule donne les anciennes coordonnées de u en fontion de ses nouvelles et la deuxième formule donne les nouvelles coordonnées de u en fonctin de ses anciennes.

Il en résulte que  P^(-1) est  la matrice de passage de B' à B.