Fondements2.EV.critere.libre

Espaces vectoriels : Condition pour qu'une famille soit libre, soit une base

Soit E un espace vectoriel muni d'une bae B = (e_1,...,e_n). Soit (u_1, ...,u_p) une famille d'éléments de E connus  par leurs coordonnées dans la base B : coord_B(u_j)=(a_(1,j),...,a_(n,j)). 

Notond M_B(u_1, ...,u_p) la matrice n lignes p colonnes dont la j ème colonne est formée des coordonnées de u_j dans la base B. Cette matrice est donc la matrice de  terme général a_(i,j). 

Résultat 1 : Si p est strictement plus grand que n, la famille  (u_1, ...,u_p) n'est pas libre. SI p est n ou inférieur  à  n, la famille (u_1, ...,u_p) est libre si et seulement si le système homogéne de n équations linéaires de p variables de matrice associée M_B(u_1, ...,u_p) admet comme seule solution (0,...,0)  le p-uplet nul d'éléments de K.

Résultat 2 : Si p est different de n,  la famille  (u_1, ...,u_p) n'est pas une base de E .  Si p=n, les assertions suivantes sont équiavalentes :

i) (u_1, ...,u_n) est une base de E

ii) (u_1, ...,u_n) est une famille libre  

iii) Le système homogéne de n équations linéaires de n variables de matrice associée M_B(u_1, ...,u_n) admet comme seule solution (0,...,0)  le n-uplet nul d'éléments de K

iv) la matrice M_B(u_1, ...,u_n) est inversible