Fondements2.EV.Dimension

Espaves vectoriels : Dimension

Soit E un K-espace vectoriel et B =(e_1,...,e_n) une base formée de n vecteurs.

Nous commençons par montrer qu'une famille de n ou plus de n vecteurs n'est pas libre. La conséquence de ce résultat est alors que toute base de E possède n vecteurs. Cet entier est appelé la dimension de E  et noté dim_K(E).

Résultat 1 : Soit E un K espace vectoriel non reduit au vecteur nul de E. De toute famille génératrice de E, on peut extraire une base. 

Résultat 2 : Soit E un K espace vectoriel admettant une base. Alors, on peut compléter toute famille libre en une base. 

Plus généralement, si l'on dispose d'un famille libre de E  et d'une famille génératrice de E, on peut compéter le famille libre en une base à l'aide de vecteurs de la famille génératrice.