Fondements2.EV.Definition

Espaces Vectoriels  : Définitions

K désigne par exemple l'ensemble des nombres rationnels, réels, complexes ... L'ensemble des nombres réels,  des n-uplets, des matrices n lignes p colonnes à coefficients réels,, des vecteurs d'un plan ou d'un espace géometrique sont des exemples de R-espace vectoriel. 

Plus généralement, un K-espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut ajouter des éléments et les multiplier par  un élément de K. On demande que ces deux opérations vérifient une liste de propriétés  dejà rencontrées dans nos exemples. Nous retiendrons que dans un K-espace vectoriel E, nous savons  si u_1, ... u_p sont des éléments de E  et a_1, ... a_p des éléments de K leurs associer l'élément de E : a_1u_1 +  a_2u_2+ ... + a_pu_p appelé combinaison linéaire de u_1, ... u_p.

En particulier, dans un K-espace vectoriel, il existe un unique vecteur dit  vecteur nul noté 0 tel que pour tout élément de E : u+0=0+u=u. De plus pour tout u dans E,, il existe un unique élément de E noté -u tel que u+ (-u) = (-u) = u = 0. cet élément est appelé opposé  u. Du coup dans un espace vectoriel E , nous avons uns soustraction définie par u - v = u = (-v).

Les éléments d'un K-espace vectoriel sont parfois appelés vecteurs et les éléments de K des scalaires.